Potenzsummen und Potentiale

Nachdem wir die Potenzsumme für $\alpha = 1$ abschätzen konnten, wollen wir eine Abschätzung der Summe in beide Richtungen für $0 < \alpha < 2$ angeben.
Wie im vorigen Paragraphen wird auch hier die Potenzsumme mit dem zu erwartenden Mittelwert in Verbindung gesetzt, den wir so definieren:
Es sei ${\mathcal P} = \{P_1,...,P_n \}$ eine Menge von n Punkten auf $S^{d-1}$, $\vert P,Q \vert$ sei der Euklidische Abstand.
Für $Q \in S^{d-1}$ , $P_i \in {\mathcal P}$ und die Kernfunktion $\vert Q-P_j \vert ^{\alpha}$ ist der gesuchte Mittelwert für $\alpha \neq 0$:

$${\mathit M}(\alpha,d) = \frac{1}{d} \cdot \int_{S^{d-1}} \vert Q-P_j \vert ^{\alpha} {\mathit d}\omega(Q)$$ (2.21)

Es gilt der folgende Satz [96, 99]:
Für $n \geq 2$ und für $0 < \alpha < 2$ gibt es eine n-elementige Punktmenge ${\mathcal P}=\{P_1,..,P_n\}$ und gibt es vier positive Konstante c, c', k und k', die alle nur von $\alpha$ und d abhängen, sodaß gilt:

$$c \cdot n^{1-\alpha/(d-1)} \leq \sum \vert P_i,P_j \vert ... ...a} - {\mathit M}(\alpha,d) \leq c' \cdot n^{1-\alpha/(d-1)}$$ (2.22)

Weiters gilt für $1-d \leq \alpha \leq 3-d$:

$$-k \cdot n^{1-\alpha/(d-1)} \leq \sum_{i \neq j} \vert P_i,P_j \vert ^{\alpha} -{\mathit M}(\alpha,d)$$ (2.23)

und für $3-d \leq \alpha < 0$ und $d \geq 4$ gilt:

$$-k \cdot n^{1-\alpha/(2-\alpha)} \leq \sum_{i,j} \vert P_i,P_j \vert ^{\alpha} -{\mathit M}(\alpha,d)$$ (2.24)

[Man kann zeigen, daß die Ungleichung (3) bestmöglich ist.]

Für $\alpha = 0$ gilt:

$$\frac{n}{d-1} \cdot (\log n) + {\mathit O}(n) \leq \sum_{i... ...{S^{d-1}} \log \vert Q-P_i \vert {\mathit d}\omega(Q) \bigr).$$

Umgekehrt gilt die Ungleichung:

$$\sum_{i \neq j} \bigl( \log \vert P_i,P_j \vert - \frac{1}{... ...a(Q) \bigr) \leq \frac{n}{2} \cdot (\log n) + {\mathit O}(n)$$

Der Satz beinhaltet für $\alpha = 1$ das Ergebnis von (II.5), sowie für die Verteilung von n Elektronen auf $S^2$ :

$$\sum_{i \neq j} \vert P_i,P_j \vert ^{-1} \geq n^2 - c \cdot n^{3/2}.$$ (2.25)

Eng verwandt mit den Potenzsummen, die man auch als Energiesummen betrachten kann [96], sind Potentiale [96],[99], die für $\alpha \neq 0,2,4,...$ definiert sind durch:

$${\huge U}_{\alpha}({\mathcal P},Q) = \sum_{j=1}^n \vert Q,P... ...{d-1}} \log \vert Q-P_i \vert ^{\alpha} {\mathit d}\omega(Q)$$ (2.26)

und für $\alpha = 0,2,4,...$ durch:

$${\huge U}_{\alpha}({\mathcal P},Q) = - \sum_{j=1}^n \vert Q... ... \cdot \log \vert Q,P_j \vert ^{\alpha} {\mathit d}\omega(Q)$$

Für diese gilt [Satz 2 in [97], Theorem A in [99]]:
Es gibt für $1-d < \alpha$, aber $\alpha \neq 0,2,4..$ Konstante C und c, die nur von $\alpha$ und $d$ abhängen, sodaß gilt:

$$c \cdot n^{-\alpha/(d-1)} \leq \quad \parallel {\huge U} \p... ...e U} \parallel _{\infty} \quad \leq C \cdot n^{-\alpha/(d-1)}$$ (2.27)

Unter $\parallel U_{\alpha} \parallel _{\infty}$ wollen wir dabei folgendes verstehen:

$$\parallel {\huge U}_{\alpha} \parallel _{\infty} := \left \... ... & \qquad f\uml {u}r \; \alpha < 0 \end{array} \right.$$ (2.28)

wobei wir über alle $Q \in S^{d-1}$ maximieren bzw. minimieren.
Da die beiden Funktionale zusammenhängen, beschränken wir uns hier auf eine Beweisskizze der Aussage (2.27).
Der Beweis der linken Seite von (2.27) benützt wieder die harmonische Analyse auf der Sphäre. Die Grundidee besteht darin, eine Testfunktion T zu konstruieren, die folgende Ungleichung erfüllt :

$$\parallel {\huge U}_{\alpha}({\mathcal P},Q) \parallel _1 \... ...ega(Q) \quad \vert / \sup_{ Q \in S^{d-1}} \vert T(Q) \vert .$$

Wir führen auf $S^{d-1}$ Polarkoordinaten ein und betrachten die Differentialgleichung $\Delta_l h_l(cos \theta_1) = 1$. Dabei ist $\Delta$ der Laplace-Operator und $\theta_1$ die erste Polarkoordinate des Punktes $P \in S^{d-1}$ :

$$\Delta h_l(\cos \theta_1) = ( \sin^{d-2} \theta_1 \cdot \f... ...it d}{{\mathit d} \theta_1} ) ) ^l \cdot h_l (\cos \theta_1)$$

Für eine gegebene Punktmenge ${\mathcal P} = \{P_1,...,P_n \}$ definieren wir $\gamma_i$ durch $2 \cdot \sin(\gamma_i/2) = \vert Q,P_i\vert$ und betrachten die Funktion:

$$H_l(Q):= \sum_{i=1}^n h_l (\cos \gamma_i (Q))$$

Nun zerlegen wir $S^{d-1}$ in Rechtecke $B_{\mu}$ der Form:

$$Q = (\theta_1,...,\theta_{d-1} ) \in B_{\mu} \Leftrightarro... ...theta_{\rho} \leq \mu_{\rho} \cdot \frac{\pi}{6} \cdot 2^{-r}$$

Dabei gibt $\mu=(\mu_1,...,\mu_{d-1})$ die Begrenzung des Rechteckes $B_{\mu}$ an. Es ist daher mit $\Theta_{\rho} := 6 \cdot \theta_r \cdot 2^r$:

$$% BAU: rechtsbuendig\pi \cdot (\mu_{\rho} - 1) \leq \Theta_{\rho} \leq \pi \cdot \mu_{\rho}$$

Es sei nun $\Lambda := \bigcup \{B_{\mu}: P_i \notin B_{\mu}, j=1..n\}$ die Menge aller Rechtecke, die keinen Punkt der Menge ${\mathcal P}$ enthalten. Durch die Wahl von r kann man erzwingen, daß $\sum_{\Lambda} \omega(B_{\mu} ) \ll 1$ ausfällt, da man die Rechtecke beliebig klein machen kann.

Für jeden Punkt $Q \in B_{\mu} \in \Lambda$ sei $\tau_{\mu}(Q):= 4^{-lr} \cdot \prod_{\rho=1}^{d-1} \sin^{2l}(\Theta_\rho)$.

Dann können wir die gewünschte Testfunktion definieren:

$$T(Q) := \left \{ \begin{array}{ll} \Delta(2\theta) \... ...B_{\mu} \in \Lambda \\ 0 & sonst \end{array} \right.$$

Es gilt: $\sup \vert T(Q)\vert \ll 1$

Es sei $k_{\alpha}(\cos \theta_1):= \vert 2 \cdot \sin(\theta_1/2)\vert$; $k_{\alpha}^{-1}$ sei die zu $k_{\alpha}$ in Bezug auf das Faltungsprodukt inverse Funktion, das ist die Funktion, für die gilt:

$$k_{\alpha}^{-1} * k_{\alpha} = h_1.$$

Im letzten Beweisschritt für (7) verwendet man $T * k_{\alpha}^{-1}$ als Testfunktion für ${\huge U}_{\alpha}({\mathcal P},Q)$ und wertet hier übergangene Ungleichungen aus [96].
Auch für den Beweis der rechten Seite wird $S^{d-1}$ in Rechtecke $B_{\mu}$ zerlegt. Auf diese Rechtecke wird die Beck'sche Methode aus II.2 angewandt. Daher muß für sie gelten:

$$diam B_{\mu} \leq c_1 \cdot n^{-1/(d-1)}.$$

Für $0 < \alpha < 2$ halten wir einen Punkt $Q \in S^{d-1}$ fest und wenden auf die Rechtecke $B_\mu$ den zentralen Satz von II.5 an. Dadurch erhalten wir Interpolationspunkte $Q_{\nu}^{(\mu)}$. Es sei B die konvexe Hülle der Bereiche, in denen Interpolationspunkte liegen. Weiters teilen wir die Rechtecke $B_{\mu}$ durch folgende Bedingung in Klassen $M_q = M_{q,Q}$ (q = 0,1,..) ein:

$$B_{\mu} \in M_q \Leftrightarrow q \cdot c_1 \cdot n^{-1/(d-... ... x},{\mathbf y} \vert \leq (q+1) \cdot c_1 \cdot n^{-1/(d-1)}$$

Wegen $diam B_{\mu} = \sup_{{\mathbf x},{\mathbf y} \in B_{\mu}} \vert {\mathbf x},{\mathbf y} \vert \leq c_1 \cdot n^{-1/(d-1)}$ kann jede Klasse $M_q$ maximal $\ll (q+1)^{d-2}$ Rechtecke enthalten.
Für jeden Bereich $B_{\mu} \in M_0$ ist

$$\vert n \cdot \int_{B_{\mu}} \vert {\mathbf x}-{\mathbf y}... ...athbf x}-{\mathbf x}_{\nu}^{(\mu)} \vert ^{\alpha} \vert \leq$$

$$\leq n \cdot \omega(B_{\mu}) \cdot (2c_1 \cdot n^{-1/(d-1)}... ...nu} (2c_1 \cdot n^{-1/(d-1)} )^{\alpha} \ll n^{-\alpha/(d-1)}$$

Für die Bereiche $M_q$ mit $q > 1$ kann man mittels Taylorreihe zeigen, daß:

$$\vert n \cdot \int_{B_{\mu}} \vert{\mathbf x}-{\mathbf y}\v... ...t ^{\alpha} \vert \ll q^{\alpha-d-1} \cdot n^{-\alpha/(d-1)}$$

Addiert man diese beiden Ergebnisse zusammen, und beachtet man, daß ${\mathcal M}_q \ll (q+1)^{d-2}$ ist, so erhält man:

$$\vert n \cdot \int_{S^{d-1}} \vert{\mathbf x}-{\mathbf y}\v... ...\vert {\mathbf x}-{\mathbf x}_{\nu} \vert ^{\alpha} \vert \ll$$

$$\ll n^{\alpha/(d-1)} \cdot (1+\sum_{q=1}^{\infty} q^{d-2} \cdot q^{\alpha-d-1}) \ll n^{\alpha/(d-1)}$$

$\diamondsuit$
Anstelle von Abstandssummen [weitere Beispiele findet man in [102]-[104]] kann man Produkte von Abständen betrachten [97]:
Ist ${\mathcal P} = \{P_1,...,P_n \} \subseteq S^{d-1}$ so gilt [97] für ${\huge R}(P,{\mathcal P}):= \prod_{j=1}^n \vert P,P_j \vert$ :
(P ist im folgenden stets ein Punkt auf $S^{d-1}$)

$$\max_P {\huge R}(P,{\mathcal P}) \geq (1+c_1) \cdot (2/\sqrt{e})^n$$

$$\min_{{\mathcal P}} \max_P {\huge R}(P,{\mathcal P}) \leq (1+c_2) \cdot (2/\sqrt{e})^n$$

Für eine unendliche Folge $\overline{{\mathcal P}}=(P_1,P_2,...)$ sei

$$A_n(\overline{ {\mathcal P} }) = (2/\sqrt{e})^{-n} \cdot \max_{P} {\huge R}(P,{\mathcal P}_n).$$

Dann ist für $c > 0$ und unendlich viele Werte von n:

$$A_n({\mathcal P}) \geq e^{c \sqrt{\log n}}$$

Es ist weiters:

$${\huge P} := \prod_{j \neq k} \vert P_j,P_k \vert \leq \parallel n^{n/2+{\mathit o}(n)} \parallel.$$